[양자컴퓨팅] Complex Vector Space(복소 벡터 공간) 개념정리

Complex Vector Space

 스칼라가 복소수인 vector space를 말한다.

vector space이란 어떤 집합인데, 벡터덧셈이나 스칼라곱의 연산결과가 이 집합의 원소일 때 이를 vector space라고 한다. 한마디로 덧셈이나 스칼라곱에 닫혀있는 집합을 말한다.

벡터덧셈이란 벡터의 Index가 같은 원소끼리 더하는 것. --> 결합법칙, 교환법칙, 항등원존재, 역 존재 총 4가지를 만족해야만 성립한다.

vector addition의 정의

 

스칼라곱(scalar multiplication)? 숫자 1개를 각 벡터의 원소에 곱하는 것. 스칼라곱 -> 교환법칙, 분배법칙2개, 항등원존재 총 4가지를 만족해야만 성립한다.

scalar multiplication의 정의

 

complex vector space의 정의

 

예시로 벡터 v=(2,3)과 스칼라 a=4, b=3이 있다고 하자. 이 벡터은 vector space일까?

먼저 벡터덧셈에 대해 닫혀있는지 확인한다.

• 임의의 벡터 u,w에 대해서 u+(v+w) = (u+v)+w이므로 결합법칙이 성립한다.
• 임의의 벡터 u에 대해서 u+v = v+u 로 교환법칙 성립한다.
• v+0=v를 만족하는 zero vector(덧셈에 대한 항등원)이 존재한다.
• v+(-v)=0을 만족하는 벡터 v의 역(-2,-3)이 존재한다.

다음으로 스칼라곱에 대해 닫혀있는지 확인한다.

• 임의의 스칼라 a,b에 대해서 a(bv) = (ab)v가 성립하므로 교환법칙 만족한다.
• (2,3)*1=(2,3)이 되는 곱셈에 대한 항등원1이 존재한다.
• 임의의 벡터 u, 스칼라 a에 대해서 a(u+v) = au + av를 만족하므로 분배법칙 성립한다.
• 임의의 스칼라 a,b에 대해서 (a+b)v = av+bv를 만족하므로 분배법칙 성립한다.

(2,3)은 벡터덧셈과 스칼라곱 연산에 대해서 닫혀있기 때문에 vector space라고 할 수 있다.